陣列擴展機制的目的，是為了處理「如何讓兩個不同維度的陣列一起運算？」這樣的問題。例如：兩個陣列的寬度不同，相加起來會是？兩個陣列的高度不同，相加起來會是？兩個陣列的寬度高度都不同，相加起來又會是？
陣列擴展機制定義了讓兩個陣列變成相同維度(一樣寬、一樣高)的規則。
1. 陣列擴展的必要條件
1.1 條件一：單值參數
- 陣列擴展似乎只會發生在函式的單值參數上。
- 例如：ADD()的兩個參數。
- 也就是有被設定單值旗標(Keep-single)的參數上。
- 不會發生在原本就接收整個陣列的參數上。
- 例如：SUM()的所有參數。
- 這可能是因為，這種多值參數，通常有它自己既定的運算規則，所以無法再套用陣列擴展規則。
1.2 條件二：維持多值
陣列擴展既然只發生在函式的單值參數上，但是單值參數(Keep-single)顧名思義，就是只會取用陣列中的單一值，這樣要如何擴展成相同維度的陣列呢？
所以，要讓陣列擴展發揮效果，必須先壓制單值旗標，切換到維持多值(Keep-array)的狀態。
通常，這就表示要使用ARRAYFORMULA()，把想要產生陣列擴展效果的運算式含括在其中。例如：ADD()，必須變成ARRAYFORMULA(ADD())。
有些函式也同時具有壓制單值旗標的效果，例如：FILTER()。在這種函式中，就可以不必再使用ARRAYFORMULA()。例如：ARRAYFORMULA(FILTER(ADD()))，只需要直接寫FILTER(ADD())就可以了。
註：別忘了壓制單值旗標的效果往往可以遞迴，所以通常只需要在最外層使用一次ARRAYFORMULA()即可。例如：ARRAYFORMULA(ADD(ARRAYFORMULA(ADD())))其實是不必要的，ARRAYFORMULA(ADD(ADD()))就可以達成相同效果。
1.3 條件三：相關參數
有些函式的參數彼此之間，原本就不會一起進行運算，自然也就沒有讓它們變成相同維度陣列的需要。例如：IF(...,2nd,3rd)的第二與第三個參數、CHOOSE(...,2nd,3rd)的第二與第三個參數。這時候，即使這些參數都是單值參數、而且也用ARRAYFORMULA()將該函式括起來，頂多也只會達成維持多值(Keep-array)的效果而已，並不會發生陣列擴展。
另外有些函式的單值參數，例如：CHOOSE(1st,...)的第一個參數、INDEX(...,2nd,3rd)的第二與第三個參數，即使用ARRAYFORMULA()將該函式括起來，例如：ARRAYFORMULA(INDEX(...,2nd,3rd))，卻連維持多值的效果都沒有，仍然使用維持單值(Keep-single for cell range, Keep-single for returned array)的效果。
2. 陣列擴展規則
一旦確定函式的幾個相關參數(例如：ARRAYFORMULA(ADD(1st,2nd)))之間，符合陣列擴展的條件，那麼這些參數(此時這些參數都是陣列，只是尺寸可能並不相同)就會按照下列規則，先擴展成相同尺寸的陣列：- 決定(最終運算結果的)陣列尺寸：
- 找出最寬的陣列有幾欄。
- 找出最高的陣列有幾列。
- 擴展每陣列的尺寸：
- 單欄的陣列，就重複這麼多欄。
- 單列的陣列，就重複這麼多列。
- 單值的陣列，就重複這麼多欄、也重複這麼多列。
- 二維的陣列，則維持不變。
- 補值
- 經過上述擴展後，陣列的尺寸仍然有可能小於「最終運算結果」的陣列尺寸。
- 這是因為，單欄陣列可能原本就不夠高(而擴展規則中卻只處理寬度)、單列陣列可能原本就不夠寬(而擴展規則中卻只處理高度)、二維陣列更可能原本就不夠高也不夠寬(而擴展規則中卻只是讓它維持不變)。
- 這些空缺的陣列元素位置，全部視為具有#N/A這個值。
3. 陣列公式
在試算表軟體中，通常把這種「擴展成相同維度陣列，並且進行運算」的模式，稱為「陣列公式(array formula)」。這可能是函式ARRAYFORMULA()名稱的由來。換句話說，透過這個函式，可以讓陣列從「交集模式(Intersection)」，轉變成「重複(疊代)模式(Iteration)」。
交集模式(尤其是Keep-single for cell range)的好處，是在把公式複製到多個儲存格時，不需要手動調整每個複製後的公式，就可以讓這些公式自動採用來自不同儲存格的內容。這種效果也可以用不同方式達成，也就是在公式中使用儲存格相對定址(例如：B1，而不是絕對定址$B$1)，讓公式複製到其他儲存格後，不需要調整公式內容(應該說，系統會自動幫調整複製後的相對定址)。
重複(疊代)模式的好處，是可以只在一個儲存格中輸入公式，就可以產生類似「把公式複製到多個儲存格中」的效果。可惜缺點是，只能達到「類似」的效果而已，有許多狀況(例如：循環參考、或是前面提到有些函式不受陣列擴展規則影響)，還是只能透過複製公式來達成。
相關文章
1. Google Sheets: Array Lesson 1: 建立陣列 (Creating an array)2. Google Sheets: Array Lesson 2: 陣列-交集-單值 (Array-Intersection-Single value)
3. Google Sheets: Array Lesson 3: 陣列-維持-多值 (Array-Keep-Multiple value)
4. Google Sheets: Array Lesson 5: 串接二維陣列的單個維度 (Concatenate 1D of 2D array by QUERY())
參考資料
1. Open Formula: Non-Scalar Evaluation (aka 'Array expressions')2. Apache OpenOffice: Documentation/How Tos/Using Arrays
3. LibreOffice: Calc: Array Functions
